পরিমাপে ত্রিকোণমিতি

Math New Shyllabus-2024 Hand Note/ Goudie

নবম শ্রেণীর গণিত-2024

2024 সালের নতুন হ্যান্ড নোট গণিত

জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড কর্তৃক জাতীয় শিক্ষাক্রম- ২০২২ অনুযায়ী প্রণীত এবং ২০২৪ শিক্ষাবর্ষ থেকে নবম শ্রেণির জন্য নির্ধারিত পাঠ্যপুস্তক গণিত

অধ্যায় :6

পরিমাপে ত্রিকোণমিতি



এই অভিজ্ঞতায় শিখতে পারবে-

  • ত্রিকোণমিতির ধারণা
  • ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
  • বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান
  • উন্নতি ও অবনতি কোণ
  • দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক বাস্তব সমস্যা ও সমাধান






পরিমাণে ত্রিকোণমিতি

ধরো, কোনো এক বিকেলে অভি, মিতা ও রিনা গাছের ছায়ায় বসে শ্রেণির পড়া নিয়ে আলোচনা করছিল। মিতা, অভিকে জিজ্ঞাসা করল, আচ্ছা তুমি কি এই গাছের উচ্চতা বলতে পারবে?
অভি বলল: হ্যা, এখুনি আমি গাছে উঠে উচ্চতা মেপে দিচ্ছি।
রিনা সাথে সাথে বলল: গাছে উঠতে পারবে না। গাছে না উঠেই কীভাবে উচ্চতা মাপা যায়, এসো তা বের করার চেষ্টা করি।
মিতা বলল: গাছের একটা ছায়া পড়েছে। দেখো তো ছায়া মেপে গাছের উচ্চতা মাপার কোনো বুদ্ধি বের করা যায় কিনা?
অভি বলল: আসলে ছায়াটি গাছটির সাথে সমকোণে অবস্থান করছে। তাহলে, ছায়ার প্রান্ত বিন্দু থেকে গাছের শীর্ষবিন্দুতে একটি রেখা কল্পনা করলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাওয়া যাবে। এটি কি কোনো কাজে লাগতে পারে?
রিনা বলল: হ্যা, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা যেতে পারে।
মিতা বলল: পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে সমকোণী ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য বের করা যায়। এখানে গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য অর্থাৎ ভূমি পরিমাপ করা যাবে।
 কিন্তু অতিভুজের দৈর্ঘ্য মাপতে না পারলে তো আর গাছের উচ্চতা বের করা যাবেনা। সুতরাং আমাদের নিশ্চয় নতুন কোনো সূত্রের সন্ধান করতে হবে। চলো আগামীকাল গণিত শিক্ষকের সাথে বিষয়টি আলোচনা করি এবং দেখি নতুন কিছু খুঁজে পাওয়া যায় কিনা।
পরের দিন গণিত শিক্ষককে অভি জিজ্ঞাসা করল, স্যার, আমরা গাছে না উঠেও কি গাছের উচ্চতা মাপতে পারি? 
তখন শিক্ষক বললেন, তোমরা ত্রিকোণমিতির কয়েকটি ক্লাস মনোযোগ দিয়ে করো, তাহলেই পরবর্তীতে তোমাদের সমস্যাটি সমাধান করতে পারবে।

১. ত্রিকোণমিতির ধারণা

পরিমাপের ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যে একটি বিশেষ সম্পর্ক তোমরা পূর্বের শ্রেণিতে খুঁজে পেয়েছিলে। 
আর তা হলো, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। সম্পর্কটি তৈরি হয়েছিল শুধু বাহুর মাধ্যমে। 
কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং তিনটি কোণ রয়েছে। বাহু এবং কোণ ব্যবহার করেও বিভিন্ন সম্পর্ক তৈরি করা যায় এবং সেটি বাস্তব জীবনে বিভিন্ন কাজে ব্যবহার করা যায়।
ত্রিভুজের কোণ এবং বাহুর অনুপাত ব্যবহার করে প্রাচীনকালেও মানুষ বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করেছে। যেমন, গাছে না উঠেও কীভাবে গাছের উচ্চতা মাপা যায়, নদীর এক তীরে দাঁড়িয়ে কীভাবে নদীর প্রস্থ মাপা যায় ইত্যাদি।
এসব গাণিতিক কৌশলের উপর ভিত্তি করে ত্রিকোণমিতি (Trigonometry) নামে সৃষ্টি হয়েছে গণিতের এক বিশেষ শাখা। 
আর Trigonometry শব্দটি গ্রিক শব্দ
  • tri (অর্থ তিন),
  • gon (অর্থ ধার) ও
  • metron (অর্থ পরিমাপ) 
দ্বারা গঠিত। 
মিশরীয় ভূমি জরিপ ও প্রকৌশল কাজে ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করত বলে ধারণা করা হয়। 
ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানসহ গণিতের বিভিন্ন শাখায় ত্রিকোণমিতির ব্যবহার রয়েছে।

২. সমকোণী ত্রিভুজের বিভিন্ন বাহু ও কোণের পরিচিতি 

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহু অতিভুজ (hypotenuse)। 
সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণ ব্যতীত দুটি সূক্ষকোণ রয়েছে। সূক্ষকোণ দুটি উভয়ই অতিভুজ সংলগ্ন।
অতিভুজ সংলগ্ন বাহু দুটির একটিকে ভূমি এবং অন্যটিকে উচ্চতা বলে। 
ভূ-সমান্তরালে যে বাহুটি থাকে সেটি ভূমি এবং ভূ- সমান্তরালের সাথে উল্লম্বভাবে যে বাহুটি থাকে সেটি উচ্চতা।কিন্তু খেয়াল রাখবে, ত্রিভুজটিকে ঘুরিয়ে লম্বকে ভূ-সমান্তরালে নিয়ে আসলে আমরা কিন্তু তাকেই ভূমি ধরবো এবং অন্যটিকে উচ্চতা ধরবো। ফলে ত্রিভুজের ভিন্ন অবস্থানের কারণে বাহুগুলোর নামের পরিবর্তন হবে। এটা আমাদের কাজের জন্যও একটা সমস্যা। ফলে নির্দিষ্ট কোণের সাপেক্ষে বাহুগুলোর নামকরণ করে নিলে আমাদের আর কোনো সমস্যা থাকবে না। ধরো, ভূমি এবং অতিভুজ সংলগ্ন কোণের সাপেক্ষে বাহুগুলোর নামকরণ করতে চাই। তাহলে, ভূমিকে সন্নিহিত বাহু (adjacent side), উচ্চতাকে বিপরীত বাহু (opposite side) হিসেবে বিবেচনা করতে পারি। 




জ্যামিতিক চিত্রে শীর্ষবিন্দুগুলো চিহ্নিত করার জন্য বড়ো হাতের বর্ণ 
(যেমন, A, B, C ইত্যাদি) এবং বাহু চিহ্নিত করার জন্য ছোটো হাতের বর্ণ (যেমন, a, b, c ইত্যাদি) ব্যবহার করা হয়। সাধারণতঃ, শীর্ষ বিন্দুতে ব্যবহৃত বড়ো হাতের বর্ণকে বিপরীত বাহুর জন্য ছোটো হাতের বর্ণ হিসেবে ব্যবহার করা হয়। কোণ নির্দেশের জন্য সাধারণত গ্রীক বর্ণ ব্যবহার করা হয়। 
প্রাচীন গ্রীসের গণিতবিদগণের হাত ধরেই জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতিতে এই বর্ণগুলো ব্যবহৃত হয়ে আসছে। ব্যবহৃত বর্ণগুলোর কয়েকটি নিচে দেয়া হলো।

উপরের চিত্রে <ABC কে Ө দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে।

একক কাজ

নিচের চিত্রগুলো থেকে Ө  এবং a কোণের সাপেক্ষে অতিভুজ, বিপরীত বাহু এবং সন্নিহিত বাহু চিহ্নিত করো।

৩. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও সন্নিহিত বাহুর অন্তর্বর্তী কোণের সাপেক্ষে বিভিন্ন বাহুর অনুপাত

জোড়ায় কাজ

প্রত্যেকে খাতায় একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকো যার বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য তোমার ইচ্ছেমতো নিতে পার,
 কিন্ত ভূমি সংলগ্ন সূক্ষ্মকোণটি হতে হবে 30°.
 ত্রিভুজটি আঁকা হয়ে গেলে রুলার/স্কেল দিয়ে এদের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করো এবং নিচের ছকটি পূরণ করো।
৪ নং থেকে ৯ নং ঘরের অনুপাত ৬টি তোমার অন্যান্য সহপাঠীর সাথে মিলিয়ে দেখো যে এগুলো মিলে গেছে নাকি পৃথক হয়েছে। 
অবশ্যই মিলে গেছে। উপরের কাজ থেকে তোমরা কিছু লক্ষ করলে কি?
তোমরা সবাই একটি সমকোণী ত্রিভুজের 30° সূক্ষ্মকোণের সাপেক্ষে বাহুগুলোর অনুপাত বের করেছ এবংবাহুগুলোর পরিমাপ বিভিন্ন হওয়া সত্ত্বেও অনুপাত একই হয়েছে।

একইভাবে তোমরা যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের যে কোনো সূক্ষ্মকোণের সাপেক্ষে বাহুগুলোর অনুপাত বের করো,তাহলে দেখতে পাবে বাহুগুলোর পরিমাপ বিভিন্ন হওয়া সত্তেও অনুপাত একই হয়েছে। এই পরীক্ষণ থেকে আমরা বলতে পারি,

যে কোনো আকারের সমকোণী ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহু ও অতিভুজের অন্তর্বর্তী কোণের মান 
একই হলে ওই সকল সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত পারস্পরিকভাবে সমান হয়।
 কিন্তু সন্নিহিত বাহু ও অভিভুজের অন্তর্বর্তী কোণের মান ভিন্ন হলে অনুপাত ভিন্ন হয়। 

৪. নির্দিষ্ট কোণের সাপেক্ষে বিভিন্ন অনুপাতের নামকরণ

সমকোণী ত্রিভুজের একটি নির্দিষ্ট সূক্ষ্মকোণের সাপেক্ষে বাহুগুলোর অনুপাত সবসময় একই হয়। 
সুতরাং একটি নির্দিষ্ট কোণের জন্য বাহুগুলোকে ব্যবহার করে যত রকমের অনুপাত তৈরি করা যায় 
তা আমরা প্রথমে বের করে নিই। এক্ষেত্রে আমাদের আছে তিনটি বাহু: বিপরীত বাহু, সন্নিহিত বাহু ও অতিভুজ।
তিনটি বাহুর যে কোনো দুটিকে ব্যবহার করে কতগুলো অনুপাত তৈরি করা যায়, তা কি তোমরা জানো? 
একটু চিন্তা করে দেখো, ছয়টি অনুপাত তৈরি করা যাবে। এই ছয়টি অনুপাত নিম্নরূপ।

এই ছয়টি অনুপাতকে গণিতবিদগণ ছয়টি নাম দিয়েছেন। যদি অতিভুজ ও ভূমি সংলগ্ন সূক্ষ্মকোণ 8 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়,

 তবে অনুপাত ৬টি হলো sin0,cos0,tan0,cot0,cos0 এবং cosec0  
এই ছয়টি অনুপাত বাহুর সাথে যে সম্পর্ক তৈরি করে, তা নিম্নরূপ।


এই অনুপাতগুলোকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratio) বলা হয়।
সাধারণত ত্ৰিকোণোমিতক অনুপাতগুলোর নাম সংক্ষিপ্তরূপে লেখা হয়ে থাকে। এদের পূর্ণ নাম নিম্নরূপ।

জোড়ায় কাজ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পর্যবেক্ষণ করে দেখো, sin0 ও cos0 দিয়ে বাকি সবগুলো অনুপাতকে প্রকাশ করা যায়।নিচের ছকে ২টি উদাহারণ করে দেয়া হয়েছে। বাকি সম্পর্কগুলো তোমরা চিন্তা করে বের করে ছকে লেখো।

৫. বিভিন্ন কোণের সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান

5.1. 45° কোণের সাপেক্ষে

ধরো, △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, <B = 1 সমকোণ। এবং <A = 45°

সুতরাং <C = 45° [:: ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]

তাহলে, AB =BC [: ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলোপরস্পর সমান]

ধরো, AB = BC = a


জোড়ায় কাজ

তোমাদের খাতায় নিম্নবর্ণিত ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান নির্ণয় করে শিক্ষককে দেখাও ।sin30°, sin60°, tan30°, tan60°, sec 30°, sec60°, csc30°, csc60°, cot30°, cot60°


৫.৩. 8° কোণের সাপেক্ষে

আমরা 30°, 45° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বের করতে শিখেছি। চলো আমরা কোণের মান 8° বা 90° হলে ত্রিভুজের আকৃতি কেমন হবে এবং সেক্ষেত্রে অনুপাতের মান কীভাবে বের করা যাবে সেই বিষয়গুলো নিয়ে একটু ভাবি।

ধরো, AABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। ত্রিভুজটির ZA কোণের মান ক্রমশ ছোটো হতে থাকলে BC এর দৈর্ঘ্য ক্রমশ ছোটো হতে থাকবে। এক্ষেত্রে ZA এর মান যতই শূন্যের কাছাকাছি হবে BC এর দৈর্ঘ্য ততই শূন্যের কাছাকাছি হবে।


এই ধারণাটি আমাদেরকে A = 0° এর ক্ষেত্রে sin A এবং cos A কে সংজ্ঞায়িত করতে সাহায্য করে এবংsin 0° = 0 এবং cos 0° = 1

একক কাজ

sin 0° এবং cos 0° এর মান ব্যবহার করে tan 0°, cot 0°, sec 0° এবং csc 0° এর মান বের করো।

5.4. 90° কোণের সাপেক্ষে

আবার, ΔABC এ <A কোণের মান ক্রমশ বড়ো হতে থাকলে AB এর দৈর্ঘ্য ক্রমশ ছোটো হতে থাকবে।



এই ধারণাটি আমাদেরকে A = 90° এর ক্ষেত্রে cos A এবং sin A কে সংজ্ঞায়িত করতে সাহায্য করে এবং তখন আমরা লিখি cos 90° = 0 এবং sin 90°=1

একক কাজ

sin 90°এবং cos 90° এর মান ব্যবহার করে tan 90 cot 90°, sec 90° এবং csc 90° এর মান বের করো।ইতোমধ্যে আমরা যেসকল কোণের অনুপাতের মান বের করেছি সেগুলো আমরা ছক আকারে নিচের মতো করে লিখতে পারি।
উপরের সারণি ব্যবহার করে আমরা অনেক সমস্যার সমাধান করতে পারি।




সমস্যা: সমকোণী ত্রিভুজ ∆ABC এ <A = 30°, <B = 90° এবং AB বাহুর দৈর্ঘ্য 7cm. BC 3 AC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।




দলগত কাজ

উপরের সমস্যাটির মতো একটি করে সমস্যা তৈরি করো এবং তোমার একজন সহপাঠীকে সমাধান করতে দাও। সকলের সমাধান শিক্ষককে দেখাও

৬. বিভিন্ন কোণের সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ে ক্যালকুলেটরের ব্যবহার সমকোণী ত্রিভুজের নিয়ম ব্যবহার করে

 তোমরা কিছু নির্দিষ্ট কোণের সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করেছ।
 যে কোনো কোণের সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক কোণের অনুপাত নির্ণয় করা কঠিন।
 সৌভাগ্যক্রমে আমাদের হাতের কাছে বর্তমানে বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর, 
কম্পিউটার বা অন্যান্য ডিভাইস রয়েছে যার মাধ্যমে আমরা 
যে কোনো কোণের সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান বের করতে পারি।
ঐসব ক্ষেত্রে আমরা কোণের মানের জন্য যে অনুপাতটি প্রয়োজন হবে তা বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে বের করে নিতে পারবো। 
তোমাদের অনুশীলনের জন্য নিচের কোণগুলোর মান ক্যলকুলেটর ব্যবহার করে বের করো এবং সহপাঠীদের সাথে মিলিয়ে নাও।

জোড়ায় কাজ

  • 1) শ্রেণি শিক্ষকের সাহায্য নিয়ে বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর বা কম্পিউটার ব্যবহার করে 40°, 55, 62°, 83° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করো। শিক্ষকের নির্দেশমতো আরও কিছু কোণের মান নির্ণয় করো।
  • 2) sin 32°, cos36°, tan 52°, cot 61.5°, sec 72.6°, csc 15° অনুপাতগুলোর মান বের করো।

গণিত শিক্ষক এবার রিনা, অভি ও মিতাকে বললেন, এখন গাছে না উঠেও গাছের উচ্চতা মাপার প্রয়োজনীয় জ্ঞান তোমরা অর্জন করেছ। এসো এবার ক্লাসের সকল শিক্ষার্থী মিলে নিচের কাজটি করো।

দলগত কাজ/প্রজেক্ট

শ্রেণির সকল শিক্ষার্থী কয়েকটি দলে বিভক্ত হবে। প্রত্যেক দল তাদের সুবিধামতো বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের একটি কাঠি বা সোজা গাছের ডাল নিবে এবং এর দৈর্ঘ্য মেপে নিবে। যখন সূর্য হেলানো অবস্থায় থাকে, তখন প্রত্যেক দল একটি গাছের পাশে যাবে। এরপর কাঠি/ডালটিকে উল্লম্বভাবে ভূমিতে স্থাপন করে এর ছায়ার দৈর্ঘ্য মেপে নিবে। একই সময়ে গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য মেপে নিবে।





৭. উন্নতি ও অবনতি কোণ

পাশের চিত্রে আমরা লক্ষ করি, একজন ব্যাক্তি গাছের অগ্রভাগ/শীর্ষভাগের দিকে তাকিয়ে আছে। 
ব্যাক্তির দৃষ্টিরেখা, চোখ বরাবর ভূসমান্তরাল রেখা এবং গাছের মাঝ বরাবর ঊর্ধ্বরেখা কল্পনা করলে আমরা 
একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাব। এক্ষেত্রে ভূসমান্তরাল রেখা ও চোখের দৃষ্টি বরাবর কল্পিত রেখার মধ্যবর্তী কোণকে উন্নতি কোণ বলে। 
উন্নতি কোণ এবং কল্পিত ত্রিভুজটির যে কোনো এক বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে আমরা ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার করে
 অন্য বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য বের করতে পারব।


এবার পাশের আরেকটি চিত্র লক্ষ করি। একটি শিশু বাসার দোতলার বারান্দা থেকে নিচে একটি বস্তুর দিকে তাকিয়ে আছে। শিশুটির দৃষ্টিরেখা, ভূমির উপর কল্পিত রেখা এবং ভূমি থেকে শিশুটির চোখ বরাবর ঊর্ধ্বরেখা

কল্পনা করলে আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ কল্পনা করতে পারি। এক্ষেত্রে চোখ বরাবর কল্পিত ভূ-সমান্তরাল রেখা এবং চোখের দৃষ্টি রেখার মধ্যবর্তী কোণকে অবনতি কোণ বলে। অবনতি কোণের মান জানা থাকলে কল্পিত ত্রিভুজটির কোণের মান বের করে এবং যে কোনো এক বাহুর দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার করে অন্য বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য বের করে ফেলতে পারবো।

৭.১. একটি নির্দিষ্ট রেখার একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে উন্নতি ও অবনতি কোণ

ধরো, AB একটি ভূ-সমান্তরাল রেখা। AB এর উপর O একটি বিন্দু। <POB এবং <BOQ দুটি কোণ অঙ্কন করা হলো

 যেন A, O, B, P ও Q একই উল্লম্ব তলে অবস্থান করে। এখানে P বিন্দুটি ভূ-সমান্তরাল ABরেখার উপরের দিকে অবস্থিত। সুতরাং AB রেখার O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর উন্নতি কোণ <POB |

আবার, Q বিন্দুটি ভূ-সমান্তরাল AB রেখার নিচের দিকে অবস্থিত। সুতরাং AB রেখার O বিন্দুর সাপেক্ষে Q বিন্দুর অবনতি কোণ <QOB ।

৮. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের প্রয়োজনীয়তা

গণিত শিক্ষক এবার সকল শিক্ষার্থীকে বললেন যে এতক্ষণে তোমরা বুঝে গিয়েছ ত্রিকোণমিতিক জ্ঞান আমাদের কত কাজে লাগে। কোণ পরিমাপের মাধ্যমে কোনো বস্তুর অবস্থানে না গিয়েও দুরত্ব মাপা যায়। গণিতবিদদের এই আবিষ্কার ছিল একটি বিপ্লব। তাই আমরা এখানে ত্রিকোণমিতির জ্ঞান অর্জনে মনোযোগী হবো। আমরা এই জ্ঞানের মাধ্যমে অনেক কঠিন সমস্যারও সমাধান করতে পারি ।

৯. দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক বাস্তব সমস্যা ও সমাধান

এ পর্যন্ত যা শিখলাম, চলো সেগুলো ব্যবহার করে আমরা কয়েকটি বাস্তব সমস্যার সমাধান করি ।

সমস্যা-১: একটি মই একটি ঘরের ছাদের কিনারে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইটি দৈর্ঘ্য 12 ফুট এবং ম‍ইটি ভূমির সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করেছে। ভূমি থেকে ছাদের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, AC মইটির শীর্ষবিন্দু C এবং C বিন্দুটি ছাদের কিনারে রয়েছে। সুতরাং C বিন্দু থেকে ভূমির উপর লম্ব দূরত্বই হবে ছাদের উচ্চতা। চিত্রানুযায়ী BC = h (ধরি),ছাদের উচ্চতা এবং AC মইটির ভূমি AB এর সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করেছে। তাহলে, <CAB = 45°. সমকোণী ত্রিভুজ ∆ABC হতে পাই,

সমস্যা-২ দুই বন্ধু 500 মিটার দূরত্বে দাঁড়িয়ে আছে এবং তারা দেখলো একটি প্লেন তাদের উপর দিয়ে উড়ে আসছে। কোনো একটি নির্দিষ্ট সময়ে প্রথম বন্ধুর থেকে প্লেনের উন্নতি কোণ 60° এবং দ্বিতীয় বন্ধুর থেকে প্লেনের উন্নতি কোণ 30°. প্লেনটি কত উচ্চতায় উড়ছিল? প্লেনটি যদি দুই সেকেন্ড পরে দ্বিতীয় বন্ধুর মাথার উপর দিয়ে অতিক্রম করে,তাহলে প্লেনের গতিবেগ কত ছিল?


সমস্যা-৩

একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে তার অবিচ্ছিন্ন ভাঙ্গা অংশটি খুঁটির গোড়া থেকে 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। মাটিতে খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, সম্পূর্ণ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?



জোড়ায় কাজ

একটি নদীর এক পাড়ে দাঁড়িয়ে তোমার থেকে আড়াআড়ি অপর পাড়ে একটি গাছকে লক্ষ করলে। তুমি নদীর পাড় দিয়ে 50 মিটার এমনভাবে হেঁটে গেলে যে ওই গাছটির সাথে তোমার বর্তমান অবস্থানের সংযোগরেখা তোমার চলার পথের সাথে 30° কোণ তৈরি করল। তোমার প্রথম অবস্থান থেকে নদীর ওপারের গাছের দূরত্ব কত?



প্রজেক্ট (দলগত কাজ) )

শিক্ষকের নির্দেশনা মোতাবেক তোমরা কয়েকটি দলে ভাগ হয়ে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের জ্ঞান কাজে লাগিয়ে তোমাদের শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের আঙ্গিনা বা মাঠ থেকে প্রতিষ্ঠানের সর্বোচ্চ স্থাপনার উচ্চতা নির্ণয় করো। তোমরা উচ্চতা কীভাবে নির্ণয় করলে তা ছবিসহ একটি পোস্টার পেপারে উপস্থাপন করো।



৭. ভূতলের কোনো একটি স্থান থেকে একটি মিনারের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° । ওই স্থান থেকে 20 মিটার পিছিয়ে গেলে মিনারের উন্নতি কোণ হয় 45°। মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় করো ।

৮. একটি নদীর তীরে দাড়িয়ে একজন লোক দেখলো যে, ঠিক সোজাসুজি নদীর অপর তীরে 100 মিটার উঁচুএকটি টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। লোকটি টাওয়ার বরাবর নৌকা পথে যাত্রা শুরু করল। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে নৌকাটি টাওয়ার থেকে 10 মিটার দূরে তীরে পৌঁছাল। লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্ণয় করো।

৯. সাগরের তীরে একটি টাওয়ারের উপর থেকে একজন লোক সাগর

পর্যবেক্ষণের সময় দেখলো যে একটি জাহাজ বন্দরের দিকে আসছে। তখন জাহাজটির অবনতি কোণ ছিল 30°. কিছুক্ষণ পরে লোকটি দেখলো জাহাজটির অবনতি কোণ 45°. যদি টাওয়ারের উচ্চতা 50 মিটার হয়, তবে এই সময়ে জাহাজটি কত দূরত্ব অতিক্রম করেছে?



১০. তোমার প্রতিষ্ঠানের অফিস ভবন থেকে 10 মিটার দূরে ওই ভবনের উন্নতি কোণ 45° এবং 20 মিটার দূর থেকে ওই ভবনের উন্নতি কোণ A° হলে, sine ও cos-এর মান নির্ণয় করো।







অর্ডিনেট আইটির আইসিটি(HSC) সকল কোর্সের ফ্রি ভিডিও ক্লাস

এই পোস্টটি পরিচিতদের সাথে শেয়ার করুন

পূর্বের পোস্ট দেখুন পরবর্তী পোস্ট দেখুন
এই পোস্টে এখনো কেউ মন্তব্য করে নি
মন্তব্য করতে এখানে ক্লিক করুন

অর্ডিনেট আইটির নীতিমালা মেনে কমেন্ট করুন। প্রতিটি কমেন্ট রিভিউ করা হয়।

comment url