লগারিদমের ধারণা ও প্রয়োগ

 Math New Shyllabus-2024 Hand Note/ Goudie

নবম শ্রেণীর গণিত-2024

2024 সালের নতুন হ্যান্ড নোট গণিত

জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড কর্তৃক জাতীয় শিক্ষাক্রম- ২০২২ অনুযায়ী প্রণীত এবং ২০২৪ শিক্ষাবর্ষ থেকে নবম শ্রেণির জন্য নির্ধারিত পাঠ্যপুস্তক গণিত

অধ্যায় :3

লগারিদমের ধারণা ও প্রয়োগ

এই অভিজ্ঞতায় শিখতে পারবে-

• সূচকের বৈশিষ্ট্য
• লগারিদমের ধারণা
• সূচক ও লগারিদমের মধ্যে সম্পর্ক
• লগারিদমের ভিত্তি ও তার সীমাবদ্ধতা
• লগারিদমের আরগুমেন্ট ও তার সীমাবদ্ধতা
• লগারিদমের সূত্রাবলি ও তাদের প্রমাণ
• লগারিদমের বৈশিষ্ট্য
• লগারিদমের প্রয়োগ

লগারিদমের ধারণা ও প্রয়োগ

তোমরা কি জানো ব্যাকটেরিয়া খুব দ্রুতগতিতে বংশ বৃদ্ধি করে। মনে করো, কোনো একটি পরিবেশে পরীক্ষা করে ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা শনাক্ত করা হলো 4500. এই ব্যাকটেরিয়া প্রতি ঘণ্টায় বংশ বৃদ্ধি করে দ্বিগুণ হয়। তোমরা নিশ্চয় বুঝতে পারছো কয়েক ঘন্টার মধ্যে ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা অনেক বেড়ে যাবে। যেমন-

১ম ঘণ্টায় ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা

 = 4500 x 2 

= 9 x 1000 

= 9 x 103 আকারে প্রকাশ করা যায়।

২য় ঘণ্টায় ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা

 = 9000 x 2

 = 1.8 x 10000

= 1.8 x 104 আকারে প্রকাশ করা যায়।

তোমরা জানো,এ ধরনের আকারকে সূচক আকার বলে। দেখতেই পারছো সূচকের সাহায্যে আমরা খুব বড়ো বড়ো সংখ্যাকে অতি সহজে প্রকাশ করতে পারি।

১ম থেকে ১০ম ঘণ্টা পর্যন্ত ব্যাকটেরিয়ার বংশ বৃদ্ধি কত হয় তা হিসাব করে নিচের ছক ৩.১ পূরণ করো।

একক কাজ-০১

এই ধরনের সমীকরণকে সূচক সমীকরণ বলে। এবার বলো তো এখান থেকে আমরা n এর মান কীভাবে বের করব? 

অর্থাৎ,কোনো সূচক সমীকরণ থেকে অজানা সূচক রাশির মান কীভাবে বের করা যায়? সূচক সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো, b៱n = a যেখানে b > 0 এবং b ≠ 1. এখন প্রশ্ন হলো, আমরা কীভাবে n-এর মান বের করব?

এক্ষেত্রে আমরা লগারিদম ব্যবহার করতে পারি। লগারিদম ব্যবহার করে সূচক সমীকরণটিকে লেখা যায় b៱n = a 

⇒ logba = n, 

অর্থাৎ n হলো a এর b ভিত্তিক log।

 b៱n = a (যেখানে b > 0 এবং b + 1) যদি এবং কেবল যদি n = logba

এখানে b কে log এর ভিত্তি (base) বলা হয়। log হলো logarithm শব্দটির সংক্ষিপ্ত রূপ। তোমাদের মনে অবশ্যই প্রশ্ন জাগছে, 

কে সর্বপ্রথম log-এর ধারণা দিয়েছেন? 

তাহলে চলো আমরা log সম্পর্কে সংক্ষেপে একটু জেনে নিই logos এবং arithmos দুটি গ্রিক শব্দ থেকে logarithm শব্দটির উৎপত্তি। logos অর্থ অনুপাত এবং arithmos অর্থ সংখ্যা। তাহলে logarithm শব্দটির অর্থ দাঁড়ায় সংখ্যার অনুপাত। 

স্কটল্যান্ডের গণিতবিদ জন নেপিয়ার [John Napier] তার একটি বইয়ে logarithm শব্দটি সর্বপ্রথম ব্যবহার করেন। তোমরা ইতোমধ্যে সূচক বা সূচকীয় রাশি সম্পর্কে বিস্তারিত জেনেছ। আসলে সূচকীয় রাশির মান বের করার জন্যই লগ বা logarithm ব্যবহার করা হয়।

সূচক ও log কিন্তু একই ধারণা, তবে তাদের দুইভাবে প্রকাশ করা যায়। যে কোনো সংখ্যাকে কখনো আমরা সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করি। 

আবার ওই একই সংখ্যাকে কখনো আমরা log এর মাধ্যমেও প্রকাশ করি। তাতে সংখ্যাটির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। যেমন 9 কে আমরা 32 আকারে প্রকাশ করতে পারি। তাহলে 32 = 9 হলো সূচকীয় রাশির একটি সমতা। 

এই সূচক 2 কে আর কীভাবে লিখা যায় তোমরা কি তা বলতে পারো? 

2 হলো 9 এর 3 ভিত্তিক log. কথাটিকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করলে হয়, 

2 = log3 9. তেমনিভাবে, 

সূচকীয় সম্পর্ক 23 = 8 থেকে বলা যায়, 3 হলো 8 এর 2 ভিত্তিক log. 

কথাটিকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করলে হয়, 3 = log28

লক্ষ করো, সূচকীয় সমতা 23 = 8 এর ক্ষেত্রে, সূচকের ভিত্তি 2. 

আবার, 3 = log28 এর ক্ষেত্রে,logএর ভিত্তি 2.

অতএব, সূচকের ভিত্তি ও log এর ভিত্তি একই বা সমান হয়।

জোড়ায় কাজ

সূচকীয় সমতা ও log এর সম্পর্ককে নিচের ছকের (ছক-৩.২) মাধ্যমে দেখানো হলো। খালি ঘরগুলো পূরণ করো:

আমরা এতক্ষণে সূচকের সম্পর্ককে কীভাবে log এর ভাষায় প্রকাশ করে গাণিতিকভাবে উপস্থাপন করা যায় তা শিখলাম। এখন নিচের ছকে সূচকের সম্পর্ককে log এর মাধ্যমে এবং log এর সম্পর্ককে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করে নিজের অভিজ্ঞতাকে যাচাই করো।

লগের ভিত্তির সীমাবদ্ধতা

তোমরা হয়তো লক্ষ করেছ যে, সূচক সম্পর্কটিকে log এ রূপান্তরের সময় ভিত্তি b এর উপর একটি শর্ত দেয়া হয়েছে। শর্তটি হলো, b> 0 এবং b ≠ 1. এটি লগের ভিত্তির সীমাবদ্ধতা। আমরা এখন এই সীমাবদ্ধতা প্ৰমাণ করব।

শর্ত-০১: যখন b < 0.

শর্ত-০২: যখন b = 0.

শর্ত-০৩: যখন b = 1.

উপরের শর্ত তিনটি থেকে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, 

• log এর ভিত্তি ঋণাত্মক হতে পারে না।
• log এর ভিত্তি 0 হতে পারে না।
• log এর ভিত্তি 1 হতে পারে না।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি, log এর ভিত্তি 1 বাদে সকল ধনাত্মক সংখ্যা।

লগের আরগুমেন্ট (Argument) ও তার সীমাবদ্ধতা

এটি লগ সম্পর্কে খুবই সতর্কতামূলক একটি তথ্য।

লগ বিষয়ক কয়েকটি সূত্র

যেহেতু লগের ধারণা এসেছে সূচক থেকে, সুতরাং লগের সূত্রগুলো পেতে হলে আমাদের সূচকের সূত্র জানতে হবে। আমরা সূচকের সূত্র আগেই জেনে এসেছি। কাজের সুবিধার্থে আমরা সূচকের সূত্রগুলো এখানে লিখে রাখছি।সূচকের সূত্রসমূহ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা x ও y এবং যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা m ও n এর জন্য,

লগ বিষয়ক কয়েকটি সূত্র এবং এর প্রমাণ 

প্রমাণ: 

সূত্র 2. logb b = 1

প্রমাণ: 

সূত্র ৩. logb(AB) = logb A + logbB 

প্রমাণ: মনে করি, logb A = x এবং logb B = y

এই লগারিদমীয় রাশিকে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়,

bx = A এবং by=B

বা, bx by =AB

বা, bx+y = AB

এই সূচকীয় রাশিকে লগের মাধ্যমে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়, 

logy (AB) 

= x + y

= logb A + logb B [x ও y এর মান বসিয়ে ]

:: logb(AB) = logb A + logb B (প্রমাণিত)।

More Practice Sheet

১। শূন্য ব্যতীত যে কোন সংখ্যার নূন্যতম শক্তির মান কত?  

অর্ডিনেট আইটির আইসিটি(HSC) সকল কোর্সের ফ্রি ভিডিও ক্লাস